Phần lẻ

Hàm phần lẻ là hàm răng cưa, ký hiệu { x } {\displaystyle \{x\}} với x là số thực, được định nghĩa bởi công thức[9]

{ x } = x − ⌊ x ⌋ . {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor .}

Với mọi x,

0 ≤ { x } < 1. {\displaystyle 0\leq \{x\}<1.\;}

Với x>0 trong dạng thập phân, floor(x) là phần bên trái của biểu diễn thập phân, phần lẻ của x là phần bên phải khi thay tất cả các số bên trái bởi 0.

Toán tử mod

Toán tử mod, ký hiệu là x mod y,x, y thực, y ≠ 0, xác định theo công thức

x mod y = x − y ⌊ x y ⌋ . {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}

x mod y luôn nằm giữa 0 và y; i.e.

Nếu y > 0,

0 ≤ x mod y < y , {\displaystyle 0\leq x\,{\bmod {\,}}y<y,}

còn nếu y < 0,

0 ≥ x mod y > y . {\displaystyle 0\geq x\,{\bmod {\,}}y>y.}

Nếu x nguyên còn y nguyên dương,

( x mod y ) ≡ x ( mod y ) . {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}.}

x mod y với y có định là hàm răng cưa.

Quadratic reciprocity

Gauss's third proof of quadratic reciprocity, as modified by Eisenstein, has two basic steps.[10][11]

Let p and q be distinct positive odd prime numbers, and let

m = p − 1 2 , n = q − 1 2 . {\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}.}

First, Gauss's lemma is used to show that the Legendre symbols are given by

( q p ) = ( − 1 ) ⌊ q p ⌋ + ⌊ 2 q p ⌋ + ⋯ + ⌊ m q p ⌋ {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}

and

( p q ) = ( − 1 ) ⌊ p q ⌋ + ⌊ 2 p q ⌋ + ⋯ + ⌊ n p q ⌋ . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}

The second step is to use a geometric argument to show that

⌊ q p ⌋ + ⌊ 2 q p ⌋ + ⋯ + ⌊ m q p ⌋ + ⌊ p q ⌋ + ⌊ 2 p q ⌋ + ⋯ + ⌊ n p q ⌋ = m n . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}

Combining these formulas gives quadratic reciprocity in the form

( p q ) ( q p ) = ( − 1 ) m n = ( − 1 ) p − 1 2 q − 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}

There are formulas that use floor to express the quadratic character of small numbers mod odd primes p:[12]

( 2 p ) = ( − 1 ) ⌊ p + 1 4 ⌋ , {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },} ( 3 p ) = ( − 1 ) ⌊ p + 1 6 ⌋ . {\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}

Làm tròn

Việc làm tròn các số dương x đến số nguyên gần nhất được diễn tả như sau ⌊ x + 0.5 ⌋ . {\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor .}

Số các chữ số

Số các chữ số trong hệ cơ số b của số nguyên dương k là

⌊ log b ⁡ k ⌋ + 1. {\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1.}

Thừa số của giai thừa

đặt n nguyên dương và p là số nguyên tố. Lũy thừa của p trong khai triển của n! được cho bởi công thức[13]

⌊ n p ⌋ + ⌊ n p 2 ⌋ + ⌊ n p 3 ⌋ + … {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots }

Chú ý rằng đó là tổng có giới hạn, số hạng bằng không khi pk > n.

Beatty sequence

Beatty sequence shows how every positive irrational number gives rise to a partition of the natural numbers into two sequences via the floor function.[14]

Hằng số Euler γ

Đây là những công thức cho Hằng số Euler γ = 0.57721 56649... chứa các hàm floor và ceiling, e.g.[15]

γ = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x , {\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,} γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n ( ⌈ n k ⌉ − n k ) , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}

và

γ = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ⌊ log 2 ⁡ k ⌋ k = 1 2 − 1 3 + 2 ( 1 4 − 1 5 + 1 6 − 1 7 ) + 3 ( 1 8 − ⋯ − 1 15 ) + … {\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }

Hàm Riemann ζ

Các công thức cho số nguyên tố

n là số nguyên tố khi và chỉ khi[16]

∑ m = 1 ∞ ( ⌊ n m ⌋ − ⌊ n − 1 m ⌋ ) = 2. {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}

r là số nguyên lớn hơn 1, pn là số nguyên tố thứ n, ký hiệu

α = ∑ m = 1 ∞ p m r − m 2 . {\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}

Thì[17]

p n = ⌊ r n 2 α ⌋ − r 2 n − 1 ⌊ r ( n − 1 ) 2 α ⌋ . {\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}

Có số θ = 1.3064... với tính chất

⌊ θ 3 ⌋ , ⌊ θ 9 ⌋ , ⌊ θ 27 ⌋ , … {\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }

đều là số nguyên tố.[18]

Cũng có thêm số ω = 1.9287800... mà

⌊ 2 ω ⌋ , ⌊ 2 2 ω ⌋ , ⌊ 2 2 2 ω ⌋ , … {\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }

đều nguyên tố.[18]

π(x) là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x. Nó được suy luận từ Định lý Wilson[19]

π ( n ) = ∑ j = 2 n ⌊ ( j − 1 ) ! + 1 j − ⌊ ( j − 1 ) ! j ⌋ ⌋ . {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}

Nếu n ≥ 2,[20]

π ( n ) = ∑ j = 2 n ⌊ 1 ∑ k = 2 j ⌊ ⌊ j k ⌋ k j ⌋ ⌋ . {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}

Không công thức nào trên đây ứng dụng thực tế.

Vấn đề đã giải quyết

Ramanujan đả gửi các bài toán sau đây đến Journal of the Indian Mathematical Society.[21]

Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng

(i) ⌊ n 3 ⌋ + ⌊ n + 2 6 ⌋ + ⌊ n + 4 6 ⌋ = ⌊ n 2 ⌋ + ⌊ n + 3 6 ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}

(ii) ⌊ 1 2 + n + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 2 + n + 1 4 ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}

(iii) ⌊ n + n + 1 ⌋ = ⌊ 4 n + 2 ⌋ . {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}

Vấn đề chưa giải quyết

Có số nguyên dương k nào thỏa mãn, k ≥ 6, mà[22]

3 k − 2 k ⌊ ( 3 2 ) k ⌋ > 2 k − ⌊ ( 3 2 ) k ⌋ − 2 ? {\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2\;\;?}

Mahler[23] has proved there can only be a finite number of such k; none are known.